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資金管理的Kelly法則 文章所有權屬原作者所有
作者：李榮祥
台 灣期貨界流行一種說法，只要給予足夠的資金（相當於一個期貨合約的總值，例如加權指數合約總值5000點*200元＝１００００００元），買了就放任不 管，總有一天會賺到錢。但是，他們沒有考慮到各個不同倉期合約的基差變化，每個月換倉手續費的問題，以及100萬元資金每年滋生的利息…….。──還有， 如果是一個沒有停損觀念的投資人，或是一個沒有交易紀律（例如過度下注，單位100萬元一次下單8口大台指）的投資人，甚至可能把全部賭本輸個精光。
期貨和選擇權的投機行為就像賭博一樣，必須要有一套完整的資金控管法則，讓您的每一把賭注所佔總賭本的比例，都處在一個安全的範圍之內。進而達到：
１． 賭本可以不斷成長，達到某個預期目標。
２． 賭本的縮水（drawdown）範圍要控制在某個程度之內。
３． 到達預期獲利目標（比方說賭本的兩倍）的期間應該盡量縮短。
所謂資金控管的法則就是，每筆交易賭注占總賭本的比例，應該維持在怎樣的範圍之內，才算是合乎最佳化的原則，我想這是每一個期貨選擇權交易人士，心中存在著的一個問號。有些財經書本教人家以5%的總賭本去操作每一筆交易。理由何在？是否合乎最佳化原則？
其實資金控管的最佳化法則，在上個世紀末就有很多學術性文章廣泛討論過，其中以Kelly法則最為一般人所接受。──Kelly法則就是本文想要探討的內容。
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資金管理要點
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１． 每一把賭注都必須支付手續費和稅金以及利息（或轉倉基差）。即使下賭過程不賺不賠，所有這些支付費用都是造成虧損的原因。因此，買了就放著的策略還是不保證賺錢。
２． 買了就放著的策略，如果沒有停損的觀念，就無法控制賭本縮水（drawdown）的程度。假設5000點買進，行情下跌到2000點，或是5000點賣 出，行情上漲到8000點，同樣都會讓賭本縮水三分之二。既然有了停損觀念，就不可能實施買了就放著的策略。進行操作之前，必須為每筆賭注的的比例規模， 勝算機率，盈虧比例，做好事先的規劃。
３． 如果一次把賭注下滿，即使您有很高的勝算率（P>0.8），經過n次的下注，則破產機率還是蠻高的。〔破產機率＝1-P^n〕。如果您連續百分之百下注，並且每次都贏，當您玩到第８把的時候，破產機率已經高達83%（1-0.8^8=0.8322）。
４． 如果一次賭注只占總賭本2%。而您的投資標的預期獲勝機率遠大於2%，則這種投資策略就顯得太保守了。
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賭注占總賭本的比例Fraction
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剛才我們討論到賭注的比例問題：太高的比例（例如，百分之百賭本完全下注）可能會造成賭本縮水的速度增加，太低的比例（例如只下注2%），有時候會讓我們的預期獲利目標遙遙無期，無法實現。我們可以利用下列公式來表達賭注比例與預期賭本成長之間的關係：
假設賭注占賭本的比例為F
則贏錢的時候，賭本B變成B1=(1+F)B
若輸錢的時候，賭本B變成B1=(1-F)B
如果總共玩N把，其中W把賺錢，L把輸錢。亦即，N=W+L
也就是說，成功機率＝W/N，失敗機率＝L/N
則操作N次下注之後，未來賭本Bn應該有怎樣的預期成長？
Bn=B*(1+F)^W*(1-F)^L
上面的公式很簡單，採用某個投注比例F，贏錢W次，輸錢L次之後，原來投資的賭本B，就會變成未來賭本Bn.
實例說明１，
如果原來賭本B＝1000元，我們採用百分之百下注，F就變成100%，假設下注過程的成功機率＝0.8，也就是說玩100次（N=100），贏了80次（W=80），所以成功機率＝W/N=0.8
把這些因素帶入上面的公式：
未來賭本Bn=1000元*(1+1)^80*(1-1)^20=0元
因為全部賭注下注，只要發生一次閃失，全部賭本就會化為烏有。
實例說明２，
如果我們採用F=5%作為下注比例，假設成功機率＝0.6，也就是說投注100次，贏60次，輸40次。原來賭本還是1000元。
把這些因素帶入上面的公式：
未來賭本Bn=1000元*(1+0.0.5)^60*(1-0.0.5)^40=1000*1.05^60*0.95^40
=1000*18.67919*0.128512=2400.502元
實例說明３，
等同於實例說明２，但是把賭注比例F改成為F=20%，帶入上式：
未來賭本Bn=1000元*(1+0.2)^60*(1-0.2)^40=1000*1.2^60*0.8^40
=1000*56347.51*0.000133=7489.896元
實例說明３的操作績效遠高於實例說明２，高達3.1（7489/2400）倍。
顯而易見地，不同的賭注比例F，不同的成功機率W/N，都會帶出不同的未來賭本Bn變化。那麼，是否有一個最佳化的公式，可以計算出最佳的F比例？答案是有的。
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Kelley準則
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利用統計學最佳化技巧（log maximun likehood），把上面公式整理如下：
Bn=B*(1+F)^W*(1-F)^L
Bn/B=(1+F)^W*(1-F)^L
利用X=e(ln(X))的數學觀念,轉換上式：
Bn/N.B＝e((1/N)*ln[(1+F)^W*(1-F)^L])
上式右邊的自然數e表示左式的幾何成長G(f)
G(f)= 1/N* ln [ (1+F)^W*(1-F)^L]
G(f)=W/N*(1+F)+L/N*(1-F)
如前所述，W/N=成功機率＝p，L/N＝虧損機率＝q
上式左邊就是賭本成長率G(f)
因此上式就成為：
G(f)=p(1+F)+q(1-F)
若要把上式最大化，就是求取上式的導數＝０
上式的導數G'(f)=p/(1+F)-q/(1-F)=(p-q-F(p+q))/[(1+F).(1-F)]
因為p+q=1
因此，只要F=p-q，G'(f)就會=0
所以最佳化的F=p-q
簡言之，當我們推估某種交易模式有60%的獲勝機率，亦即，p=0.6，q=0.4，則我們應該採用F=p-q=0.6-0.4=20%的投注比例。
如果我們推估該交易模式只有52.5%獲勝機率，則F=52.5%-(1-52.5%)=5%，就是最佳化投注比例。
kelly公式的解說與應用
賭徒在賭場，投資人在市場，都需要懂得資金管理的技巧。否則提早畢業是難以避免的命運。
賭客無法長期憑藉運氣累積賭本，投機客又何嘗可能只靠運氣賺錢。
我們看不出來賭客和投機客有些什麼差別？───
兩者同樣都需要：
研發出一套可行的交易模組，
尋找妥當的交易機會，
控制適當的盈虧比例，
保持平衡的報酬率（收支／成本），
嚴守進出場紀律（不要懷疑，賭客也有停損動作，更何況是投機客！），
設定固定的投注比例，讓賭本呈幾何級數成長。───
其中，固定投注比例，就是資金管理最重要的觀念之一。
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認識投注比例
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所謂投注比例，就是每次投注一把，或交易一次，必須支付成本佔總賭本的比例。例如，總賭本200萬元，每次交易成本8萬元，則投注比例就是
8/200=4%.
另 外更實用的投注比例定義，就是直接把每次交易的最大可能損失當作分子，例如每次容許最大損失4%＝8萬元，也就是說，如果容許每次停損100點*200元 ＝2萬（大台指期貨），就可以每次交易8/2=4口大台期貨部位。──這種最大的損失，必須控制在嚴格的停損紀律之下。
假設交易一次之後獲利4%，亦即8萬元，賭本變成208萬元，則下一次交易的投注（停損）金額就是208*4%=8.32萬元。
假設交易一次之後虧損4%，亦即8萬元，賭本變成192萬元，則下一次交易的投注（停損）金額就是192*4%=7.68萬元。
換句話說，賭本累積愈多，投注或停損金額就以固定比例隨之增多，反之，賭本虧累愈大，投注或停損金額就以固定比例隨之減少。
這就是幾何級數固定比例的資金管理模式。
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幾何比例vs.算數比例
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一般投資人的資金管理模式很少考慮到幾何級數或算數級數之間的差別。簡言之，幾何級數的績效成長和績效縮水（drawdown）都呈現凸性曲線狀，不致於產生破產（賭本變成零）現象。然而算數級數的績效縮水卻呈現直線下降，很快就會產生破產現象。其中的原因詳述如下：
會產生破產現象就是因為出現連續虧損。讓我們先考慮連續虧損，並且把虧損控制在一定範圍（比方說50%）的情形。
如果要把賭本最大虧損控制在50%範圍之內，也就是說，最大虧損達
200*50% =100萬元就離開市場。每次虧損金額如果是以算數級數計算，亦即每次虧損4%=8萬元，則只能夠交易200/8=25次就應該離開市場。反之，以幾何級 數計算，每次虧損之後，都有96%的殘餘資金(1-4%=96%)，因此幾何級數連續虧損雖然接近破產邊緣，也不致於破產。請參看下圖。
由上圖可以觀察，賭本200萬元，固定比例4%，算數級數的連續賭本(粉紅色直線)縮水（drawdown）呈現直線下降，在第25次交易之後，就宣佈破產。
但是，幾何級數的連續賭本（藍色曲線）縮水呈現凸性曲線下降，雖接近零但卻不會變成破產。
如果將賭本的50%作為離開市場的下限，則算數級數在第13次連續虧損交易後，就離開市場，而幾何級數則在連續虧損第17次之後，才離開市場。
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kelly投注比例的應用
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當然真正在賭場或市場下注的賭客或投機客，除非真正噩運附身，否則應不致於出現連續十幾次的虧損。以操作績效的觀點評估，只要獲勝的機率大於虧損的機率，就有希望可以贏得最後的勝利。這個觀點就是來自於kelly法則。
根據上篇文章的推論，預期獲利機率p減去預期虧損機率q，也就是說，獲利期望值（p-q）必須大於零，這就是kelly準則所推薦的每次最佳投注比例。
kelly法則是在不同的固定投注比例與賭本累積成長之間的關係式中，尋找最佳化的比例，（請參看上篇文章的最佳化的數學推演過程）理論上，這個比例應該具有有最佳化的成長績效。（請參看下圖）。
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每次投注所產生的不同報酬率
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觀 察上圖，假設賭本＝1 ，在投注100次的過程中，贏錢的次數55次，輸錢的次數45次，則贏錢機率p=0.55，輸錢機率q=0.45，利用kelly準則，最佳化投注比例＝ p-q=0.55-0.45=0.1=10%。我們可以從上圖觀察出固定比例成長曲線（粉紅色線）在0.1的時候，出現1.65的最高成長倍數。
如果考慮每一次投注所產生的不同報酬率，則整個投注比例分布曲線又會產生些微變化。
假設每次投注成本=1，贏錢的話有0.5的收入，輸錢的話有0.51的支出，則贏錢的報酬率是a=0.5/1=0.5，輸錢的報酬率b=0.51/1=0.51，把報酬率和機率相乘，得到賭本成長公式：
可以求得最大值f=(ap-bq)/a.b
以a=0.5，b=0.51帶入上式，可以計算出kelly最佳化比例f＝
(ap-bq)/ab=(0.5*0.55-0.51*0.45)/(0.5*0.51)=(0.275-0.2295)/0.255=0.178431
從上圖可以觀察，當kelly比例在0.17843時，有最佳化的賭本成長倍數1.5（上圖的藍色曲線）
總而言之，當您對於市場的某個交易機會有p-q的贏錢信心時，並且您已經擬定某個交易策略，當賺錢的時候有報酬率＝a，虧錢的時候有報酬率＝b，則您可以利用kelly準則，計算出最佳化的投注比例 f=(ap-bq)/ab.
然後利用這個比例，為您的每一筆操作設定停損金額。這樣，您就充分掌握了資金管理的精髓了
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